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数学概念教学中的问题及其解决方法  

2011-12-24 15:33:44|  分类: 教学篇 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数学概念教学中的问题及其解决方法 - 杨作旺 - 杨作旺的博客

 数学概念教学中的问题及其解决方法

作者:陶文中

   数学概念是事物空间形式和数量关系的本质属性在人脑中的反映,是进行数学思维的基本要素。只有正确理解和掌握数学概念,才能有效地进行判断、解释、推理、运算与解决问题。因此,概念教学在数学教学中具有十分重要的地位,一直是教学关注的重点之一。
  一、数学概念教学中的问题
  在传统的数学概念教学中,教师往往先举几个引入例,然后提出概念定义,在黑板上抄写定义,并要求学生复述,接着讲解例题,最后是练习、巩固。这一模式延续了数十年。新课程实施以来,传统的数学教学模式逐渐淡出了课堂。探究式、体验式、小组合作等学习方式被广泛运用到数学概念教学中来,课堂教学发生了前所未有的积极变化,激发了学生数学学习的主动性和创造性。然而,伴随这一积极变化的同时,数学概念教学出现的新问题也不容忽视。主要表现为以下几个方面。
  1、兜圈子,绕弯子
  不少教师注重在概念教学中创设问题情境,注重激发学生的学习兴趣和探索新知识的强烈愿望,取得了良好的效果。然而,问题情境也是一把“双面刃”,运用不当,会产生“冗余效应”和“分散注意效应”。
  例如,某位数学教师在“对称图形”教学中,设计了“在优美的小提琴协奏曲'梁祝化蝶'选段的渲染中,学生开始观察'碧草清清花盛开,彩蝶双双久徘徊'的优美画面”的导入情境,接着提问学生:蝴蝶有什么特点?学生答道:“蝴蝶很漂亮”“一只蝴蝶大,一只蝴蝶小”……不难看出,上述导入情境虽赏心悦目,但充斥了许多与教学内容无关的信息,离数学中的对称图形知识相去甚远。导入活动虽然占用了较长时间,却没有一个学生从对称的角度指出蝴蝶图案的特点,未达到教学设计的预期目标。显然,这种兜圈子、绕弯子的情境活动设计,转移了学生的数学注意力。这是众多类似事例(如通过“乌鸦喝水”故事的模拟演示,让学生理解“占有空间”的含义等)中的一个典型案例。
  当前,概念教学设计中存在的简单问题复杂化现象,与一部分教师误以为情境一定要有新花样来吸引学生有着一定的关系。凡事要讲求效率,兜圈子、绕弯子、华而不实、教学效率低下都是不可取的。我们要珍惜课堂上的每一分钟,牢固树立课堂教学效率意识,上好每一节数学概念课。
  2、重感知,轻认知
  感知是人们认识事物不可或缺的心理过程,是对事物外部特征的直接反映,属于认识过程的感性阶段。感知所提供的对事物的认识是简单的、表面的、零散的。感知不等于认知。例如,学生感知到的“圆是由一圈弯弯的线组成的”“圆没有角,弯弯的,边很光滑”等外部特征并不等于“圆”的本质特征,也不是对“圆”的认知。因为这些外部特征均不涉及“圆”的“一中同长”的本质。然而,在概念教学,尤其是几何图形概念教学中,重感知、轻认知的现象却不在少数。例如,学习“角”,教师带了很多“角”的物品,让学生看一看、摸一摸,感知角的形状是“尖尖的”,以锐角的特征去表征角的本质特征;然后画出若干个与锐角形状相关的图形,判断它们是不是角。再如,在“三角形的稳定性”教学中,比较普遍的做法是通过教师演示或让学生用手拉三角形木架感知是否坚固、不变形,并以此解释三角形的“稳定性”,而忽视从“三角形三条边的长度一定时,三角形的形状和大小不变”上引导学生理解三角形的稳定性,误导了学生。笔者认为,考虑到小学生的思维处于形象思维逐步向抽象思维过渡的发展阶段,在数学概念教学中,重视直观性、感知、体验,无疑是必要的。但如果止步于对事物的感知,忽视对概念本质特征的抽象与概括,这样做实际上低估了学生的学习能力,势必影响其抽象、概括能力和推理能力的发展。

3、重记忆,轻理解
  在概念教学中,重记忆、轻理解的现象仍然比较普遍。主要表现为以下两点。
  其一是偏重形式记忆。数学中有一些概念是以符号或式子的形式表示其意义的,而且在运用中又往往直接和这些符号或式子打交道。由此造成一些教师在教学中疏于引导学生对概念意义的理解,偏重于学生记忆概念的外部表现形式。例如,在“倒数”概念教学中,部分教师喜欢从倒数的外部特征(分子、分母上下颠倒位置)入手,类比语文中特殊结构的复名词(“蜜蜂、蜂蜜”“天上、上天”等)引入“倒数”的概念,并且引导学生关注作为倒数的分子、分母互相颠倒这一形式上的特点。这样教学,效果似乎很好,但却淡忘了“倒数”概念的应用意义与作用,是一种舍本求末的做法。事实上也确实如此。如某教师在“倒数”教学中遇到学生提出“六分之四的倒数是九分之六”时,顿时蒙了:“六分之四与九分之六是互为倒数吗?倒数怎么会是同分母分数呢?”这位教师为什么会发蒙呢?原来,他虽熟谙“乘积是1的两个数互为倒数”这一定义,但在潜意识中还是以“分子、分母互相颠倒”作为“倒数”概念表征的缘故。教学中类似的例子不少,如强调负数是带“-”号的数,造成相当多的学生在学了字母表示数以后,总认为a一定是正数,-a才是负数。经验告诉我们,无论图形还是概念、名词,不理解其意义,单纯的、机械的形式记忆是靠不住的。形式记忆会影响学生后续知识的学习,是一种短视的教学行为。
  其二是偏重概念复述。概念的定义或描述是对概念本质特征和外延的说明,它是判断、解释、推理和应用的基础。怎样让学生掌握概念?有些教师只是简单地让学生复述一遍概念的定义。结果,学生虽会背概念,但遇到具体问题时,却茫然不知如何用概念,即所谓“死知识”。例如,在探索四分之一+二分之一时,虽然许多学生对分数的意义熟记于心,但却有半数以上(54.5%)的学生直接用分母加分母、分子加分子的方法求和(北京市海淀区翠微小学,刘莲,北京市海淀区上地实验小学,吴金华,2008)。这从一个侧面反映了相当多的学生受思维定势的影响,仍习惯于按整数加法的模式直接去相加,而不是结合分数意义去理解分数加法的意义(相同分数单位下的份数相加)。因此,衡量学生是否理解和掌握概念,不是看他会不会说概念或背概念,而是看能否在具体情境中做出正确判断、解释和运用。

  4、重枝节,轻本质
  在概念教学中,一些教师虽然重视了概念的理解,但往往关注枝节,从概念的枝节上提问题,忽视对概念的本质理解。例如,关于“角”的认识,许多教师都在角的大小与角的两边长短有无关系上做文章,花很大精力让学生讨论。实际上,教材中或教师、学生所画的角,不论角的两边画多长,本质上都是射线,是无限长的。区分这些角,并非看角的两边长短,而是看这两条边的位置关系,看这两条边的张口大小,这才是对角概念的本质把握。又如,一些学生误认为对边不在水平位置的平行四边形不是平行四边形。问题出在哪儿呢?原来是有些教师总结平行四边形特征时强调“上下两条边平行,左右两条边也平行”这一非本质特征的缘故。再如,有的教师在“体积和容积”教学中,提出了这样的问题:水杯的体积与容积哪个大?同一个物体的体积是否一定大于容积?试想,这是体积与容积概念的本质吗?事实上,体积与容积哪个大是一个与度量有关的问题,不是体积与容积概念的本质问题。若容器(如水杯)的厚度可以忽略不计,则它的体积与容积在数值上便相等。
  上述四个方面的问题既有区别又有联系,一方面反映了一些教师在概念教学理念上的偏差,另一方面也反映了部分教师在数学概念理解上的偏差。

二、数学概念教学问题的解决方法
  为克服和解决数学概念教学中存在的上述问题,笔者认为应从以下两个方面入手解决。
  1、简化导入情境,开门见山
  学生的概念学习,是在教师的指导下,按照预定的教学目标主动获得概念和建构意义的过程。对于重要的数学概念教学,首先要使学生认识到引入新概念的必要性。这样做既可以激发学生的学习兴趣和探索新知识的强烈愿望,又能激活学生的思维。其深层意义还在于使学生逐渐认识到,数学中乃至科学中任何新概念的提出都是一种需要,数学概念并不是某个人或数学家臆想出来的东西。
  概念教学的第一步就是导入概念。概念如何导入,将直接关系到学生对概念的理解和接受。在数学教学中,概念导入有问题导入、故事导入等多种方式。无论以什么方式导入,一要适合儿童的情趣,二要利于学生建立起清晰的表象。为此,要简化导入情境,做到开门见山。具体来说就是:围绕提出新概念的必要性和概念的本质去创设简单的、有现实背景或数学背景的情境,并配以逐步递进的问题(问题串)。例如,在“对称图形”的概念教学中,有的教师设计了这样的情境:首先,逐一呈现生活中常见的对称图形(飞机、三叶草、蝴蝶、蜜蜂、“喜喜”字等图案),在欣赏的过程中感受图形的对称美。接着,提出问题:(1)仔细观察这些图形的形状(提示:左右两部分或上下两部分),你发现它们有什么共同的特点?(2)对折这些图形(事前发给每个学生上述图形的图片),你又发现了什么?它和你通过观察发现的特点有什么关系吗?通过观察和折纸活动,引导学生探索、发现对称图形的基本特征。课堂上虽然没有热烈的场面,但学生个个聚精会神地投入到观察和折纸活动之中,认真思考问题。通过实践与思考,在交流和讨论中学生认识了对称图形具有“图形的一部分沿直线对折后与另一部分能完全重合”的特征。实践表明,该情境设计开门见山,紧紧围绕教学目标(经历发现对称图形基本特征的探索过程,认识对称图形的基本特征)展开新知识的学习活动,给学生提供了充分的从事数学活动的机会(观察与实践操作),帮助学生建立起清晰的表象,激发了学生数学学习的积极性。学生在获得数学知识的同时,还获得了广泛的数学活动经验。上述案例具有普遍意义,值得我们认真思考与借鉴。
  2、巧设问题情境,理解概念
  概念教学的第二步就是理解概念。正确理解概念是运用概念解决问题的基础,十分重要。理解概念,不能仅停留在字面意义或图形的说明上,而应重在理解概念的要素及相互关系。因为概念的要素是构成概念的基本元素,它们之间的相互关系反映了概念的本质特征。
  为了帮助学生理解概念,可将其分为初步理解概念和深入理解概念两个层次。
  “初步理解概念”是指弄清概念的构成要素及相互关系。这是理解概念的基本要求。通过怎样的途径和方式能较好地帮助和促进学生理解概念呢?一个有效的策略是在问题情境中理解概念。这是因为数学概念的本质比较抽象,难以直接看出来。在问题情境中学习,可以变抽象为具体,既有利于学生理解概念,又便于考查学生是否理解概念。
  例如,针对学生初学减法时,在运用中常常将加法和减法相混这一现象,某教师设计了如下问题情境:“(图示)一条船上共有9个人,船舱外有4个人。下面哪个算式可以直接用来表示船舱内有几个人?(1)9+4=□;(2)9-4=□;(3)9-□=4;(4)□+4=9。”该题的设计重点不是计算本身,而是侧重引导学生在面对一个新的问题情境时,思考选择哪种算法来解决问题。这就需要学生对各选项中的运算意义和问题的意义有深刻的思考。本题的正确选项(2)代表了学生对减法意义的理解。

又如,教学“角”概念,虽然有的教材直接从生活中的事物抽象出各种角的图形,且没有给出“角”的定义或描述性文字,但仍要注重对“角”概念的理解--其要素是“有同一个端点,有两条射线”。要素之间的相互关系是“由同一个端点引出两条射线组成的图形”。这个本质特征决定了“角”不限于形状是“尖尖的”这一种情形,由同一个端点引出两条射线可以有各种不同的位置,其形状可以是“尖尖的”,也可以是“钝钝的”,还可以是“平平的”等。为帮助学生认识和理解角的含义,有的教师做了这样的设计:(1)设计画角活动(要求画3个不同的角);(2) 呈现角的各种变式图形(直角、钝角、平角等),判断这些图形是不是角,并说明理由;(3)呈现角的简单组合(如  ),指出其中有哪几个角,并说明理由。问题(1)不是单纯的画角练习,而是通过要求学生画不同的角,侧重引导学生思考什么是不同的角,从角的外延上帮助学生理解角的含义。问题(2)是对问题(1)的补充,针对部分学生存在的“角是尖的”这一思维定势,引导学生在面对一个新的问题情境时,认真思考角的含义,从而做出正确的判断。问题(3)是解决复杂情境下角的辨别。学生在辨别时需思考角的含义,并据此从复杂的情境下分离出构成角的要素。这种有层次、多角度的理解角的概念的问题情境设计,在教学实践中取得了预期效果。
  有些概念(如圆)的要素涉及位置和大小(数量关系),搞清楚它们的不同作用,直接关系到该知识的拓展与应用。为帮助学生理解各要素的作用,需要设计相关的问题情境。例如,教学“圆”的概念,通过呈现大小不同的同心圆和大小相同、位置不同的两个等圆的情境,可以帮助学生认识圆心和半径这两个要素的不同作用:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。学生由此可进一步认识到:(1)画一个圆,首先要确定圆心的位置,然后确定半径;(2)移动某个圆,实际上就是移动圆心;平移某个圆,实际上就是平移这个圆的圆心。
  为了强化学生对概念要素的理解,有时也设计一些反例让学生判断其正误。仍以角的概念为例,如呈现大家熟悉的将角的一条边改为曲线,判断它是不是角,或将角的两条边都改为曲线,判断它是不是角等。在此需要提醒的是,不要人为地编出许多新花样,干扰学生对概念的理解。
  如果说“初步理解概念”着重解决概念构成要素之间的基本关系是什么,那么“深入理解概念”是发现和理解概念构成要素之间的新关系。方法有三。
  其一,设计变式问题(或图形),发现要素之间的新关系。
  以“图形的周长”概念教学为例,在学生明了图形周长含义的基础上,设计求正方形变式图形周长的问题:给出若干边长相同的正方形变式图形(如下图)和正方形的边长(如3厘米),求各个图形的周长。对初学图形周长的学生来说,这是一个充满挑战性的问题。为求各个变异正方形的周长,学生需要将它们分别与原来的正方形加以比较,分析变异图形的各边和原正方形相应边的位置关系。关系弄明白了,周长也就知道了。由此,学生发现图形周长的一个有趣现象:原来一个图形的大小和形状变化以后,周长却能保持不变,即所谓“形变长不变”。类似的例子还有很多,这里就不一一列举了。

其二,在应用中探索概念要素之间的新关系。
  应用既是概念学习的目的,也是深化概念学习的手段和途径。因此,重要概念的应用教学不仅仅要关注问题的解决,还要关注对概念的深化理解,探索概念要素之间的新关系(即概念的其他性质),拓展对概念的认识。
  下面,我们来看“分数”概念教学的一个例子。学生通过实物和图形等直观模型理解了分数中分子和分母的意义。实际上,这个理解还是很肤浅的。多数学生只是知道分数中分子和分母分别表示什么,还缺乏整体领会分数数值的意义(即分数是把整体平均分以后表示这样的一份或几份的大小的数)。为解决这一认识问题,可以在初学分数的基础上,通过分数的应用加以强化与内化,完成对分数数值的意义的认识。如通过比较分数1/2和1/4的大小(分数数值的比较),学生会将关注点同时聚焦于分子和分母的整体,认识到在不同分母条件下,这两个分子“1”表示的数值大小是不同的:1/2中的1表示整体(比如一张饼)2等份中的1份(半张饼);1/4中的1表示整体(比如一张饼)4等份中的1份(半张饼的一半,即一角饼)。因此,1/2>1/2。类似地,运用画图(圆或正方形)方法,学生能直观地判断出1/2比5/8小。进一步,通过在数线上表示1/2和5/8,学生会清晰地看到,数线上表示1/2的点离原点的距离是0与1之间距离的一半,而表示5/8的点离原点的距离超过了一半,离1较近,显示出1/2比5/8小。又因为1/2和5/8都在0与1之间,显示出1/2和5/8都比整数1小。接着可以引导学生想象,分数在0与1之间密密麻麻地排列着。通过分数大小叭较的活动,学生还发现了分数数值比较的一个有趣性质:分子相同的两个分数,分母大分数值反而小。不难看出,上述活动深化了学生对分数的认识。它告诉我们,不论何种概念知识,学生的认识不可能一次就到位的。而要深化认识,单靠简单强化是难以奏效的。这需要在知识应用教学中,加强对数学概念的深入理解。
  其三,从概念的发展比较中深入理解概念。
  由于认识的发展和应用的需要,数学中一些概念的定义或意义也在不断地变化和发展。因此,对于概念教学,也应从发展的角度去不断深化理解。
  例如,在小学数学中分数的认识大致分为三个阶段:第一阶段是分数的份数定义(从整体平均分后部分与整体的数量关系上认识分数),第二阶段是分数的商的定义(分数表示两个整数相除的商),第三阶段是分数的比的定义(分数表示两个整数的比)。其中,分数的份数定义直观、易懂,用的场合最多,教师最为熟悉,学生印象也最深。但分数的商的定义才反映了分数的本质。因为分数是缘于解决整数除法不能整除时为表示商的需要而引入的,所以它与分数的份数定义有着内在的联系(从运算角度来看,平均分就是整数相除)。分数的商的定义包含了最初的份数定义。分数的比的定义是在有了比的概念之后,从分子、分母的关系上对分数意义的一个概括,它包含了分数的商的意义。诚然,并非所有的概念发展其前后意义都有上述包含关系,有些概念可能是形同而实非或形似而实非。如分数乘法中分数乘整数运算,虽然形式上都一样,但意义却完全不同。分数乘整数有两个意义:一个表示求多少个相同分数的和,另一个表示求某个整数的几分之几是多少。又如分数除法中分数除以整数和分数除以分数,含义也不尽相同。因此,遇到这类数学概念,在教学中要注重彼此的区别,让学生理解和掌握各个概念特有的意义,以便灵活运用概念解决问题。
  【参考文献】
  [1] 张奠宙.分数的定义.小学教学,2010(1).
  [2] 唐彩斌.《对称图形》教学案例与反思.小学数学教师,2004(7,8).
  [3] 宗明冬.面对”尴尬“问题后的反思.小学数学教师,2006(9).
  [4] 刘莲,吴金华.异分母分数加减法说课稿.北京市海淀区教学研究内部资料,2008.
    [5] 姜荣富.数学概念学习:是逻辑的过程还是概括的过程.小学数学教师,2010(3).

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