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闲扯“应用题”  

2011-09-04 18:48:42|  分类: 理论篇 |  标签: |举报 |字号 订阅

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闲扯“应用题” - 杨作旺 - 杨作旺的博客

  闲扯“应用题”

《中小学数学》编辑

比较“应用题”与“解决问题”之优劣,犹如设计着让关公与灰太狼恶斗,其中的噱头层见叠出,还真令人忍俊不禁。

“应用题”与“解决问题”(另一说法是“问题解决”)是什么关系?是落后与先进的关系?是前辈与后世的关系?是从属关系?是非此即彼的关系?是风马牛不相及的关系?从各种各样的讨论看,从“数学课程标准(实验稿)”看,从时下的小学数学课本中用“解决问题”取代了“应用题”来看,从被糟践的灰头土脸的“应用题”和扮相十足的“解决问题”来看,上述诸关系诸情况似乎都沾了一点,用扑朔迷离来形容,可能更恰当。

“应用题”是什么?说直白些,不就是一种数学习题吗?是人们从小学到大学都曾学过或做过的数学习题吗?是一个人人都熟悉的用于数学学习的专用名词吗?死抠该名词的定义对众人没有意义,因为哪怕只读过小学的,都有识别“应用题”的能力或经验。讨论“应用题”的数学教育功能,泛泛的说,意义不大,最好从“应用题”中具体的题讨论起,即某道或某类应用题是否有利于学生对某个数学概念或方法的理解和认识?难度如何?方便度如何?呈现了什么样的数学规律?总之,学解应用题不过是想通过“应用题”这个题型来达成学生对某个特定的数学知识的应知会用。

一、“学以致用,为现实服务”的应用题

从历史上看,中国人学数学一般是通过“应用题”来学的。这可以从“应用题”在数学或数学教育发展的历史过程中看到。1984年,我国在湖北省江陵张家山出土了一批汉简(汉朝的竹简),学界称之为“张家山汉简”,其中有一部数学问题集《算数书》,谁写的?无人晓得!内中一共有92道数学题,据考证是公元前三世纪后段成书的。那时的数学题是什么样的?除了题叙用的是吝字如金的文言文外,与当今的应用题并无二致。例如,该书有一道现在的人们也很熟悉的应用题:分钱人二而多三,人三而少二,问几何人、钱几何。(答案:人5,钱13)这可能是通过掘墓考古发掘而被证实的用竹简书写的我国最早的“应用题”,尽管秦汉时期并设有“应用题”、“问题”这类专用名词。这道应用题也出现在了后来成书的《九章算术》中,用“盈不足术”求解。说明《算数书》与中国古典数学教科书《九章算术》具有前生后世的传承关系。经由《算数书》的佚名作者、张苍(约公元前200年)、耿寿昌(公元前50年)、刘徽(公元263年)、李淳风(656年)等中国数学家前赴后继历时九个世纪的努力完善而成的《九章算术》就是一本大多以“应用题”的方式表述数学方法或知识的数学教科书,全书共收入246个问题,有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输等篇章,书中的问题几乎都来自农经生产、社会管理、生活实践。该书的编写目的就是帮助人们通过对实例的学习来获得算法、掌握算法,运用这些算法解决实际问题。顺便提一下,汉代负责数学教育的官员(大司农)刘歆(公元前50—公元23年)认为数学教育是培养政府官员之必需,他也是提倡对儿童进行数学(算术)启蒙教育的中国第一人。《九章算术》阐发的数学教育思想支配了长达二千年的中国数学教育,这个思想就是“学以致用,为现实服务”,是中国传统的“实用理性”观念在数学教育领域中的表达,在这个思想的辖制下,是不可能产生人们现在熟知的科学理论和科学方法的。这个思想延至中国近代虽然有了些变化,但人们仍然以“通经致用”这类思想为数学教育宗旨,视数学为“实学”,忽视数学的独立价值。今天,21世纪初,仍有人在提倡“学有用的数学”、“学生活中的数学”、“有用的学,没用的不学”、“将数学生活化”等等,这些说法被说成是美国等科技发达国家的数学教育理念,是21世纪的舶来品。实际上不是!以“学是为了用”为主旨的数学教育不过是被现在的一些专家贴了美国标签的、影响了中国人达二千年的数学教育目的的白话文表达,这类说法及思想与中国古代数学教育思想中的消极方面一脉相承。中国近现代数学教育正是在与这类思想的博弈中发展起来的。

二、有了“兼使精细其心思”的数学教学目标

19世纪中叶,当时的清朝政府被西方列强打疼了,认识到要学习西方人的现代技术必先要掌握数理化基本理论,故在官办的学校“京师同文馆”中设立了“天文算学馆”。这个学校中的数学教师聘用的都是中国人。这个学校首次引进了西方的近代教学形式(这个形式在夸美纽斯于17世纪撰写的《大教学论》一书中有详尽的介绍)。这个学校的数学课堂,系统的、前后连贯的、有逻辑顺序的数学教学一直与中国传统的学以致用的离散式的知识教学在打架。中国的数学教师是聪明的,他们最终对二者取了融和的方式,发展出了具有中国特色的数学教育。中国的第一所由中国人自己办的近现代意义上的小学(不包括西方教会、传教士办的学校)是1878年由张焕纶在上海创办的正蒙书院。该校以班为教学单位,是中国首次采用班级授课制教学的小学校。曾在该校就读的胡适先生回忆说:该校开有“国文、算学、英文”三项课程。当时的小学数学教材是中国人自己编写的《算经十书》、《数理精蕴》,与以往不同的是,正蒙书院还同时使用了从西方翻译来的(邹立文与美国传教士狄考文合译)《笔算数学》。该书于1872年出版,分三卷24章,上卷有加法、减法、乘法、除法等章目;中卷有小数、比例、百分数、利息等章目;而下卷12章则有保险、赔赚、粮饷等应用数学的内容。全书共收录2876个问题。这套教材与中国传统算书不一样,比较注意数学知识的逻辑结构,既讲述了西方初等数学的主要内容,也加入了一些中国古代数学的问题。值得注意的是:这本被当时的中国小学校广泛采用的课本并没有出现“应用题”三个字。事实上,当时,“应用题”这个词很可能还没有在中国的数学书中出现过,而“应用题”在中国作为事实存在已有2千多年了。至此,不难断定中国现代小学数学教育是从翻译外国教材逐步过渡到自编教材的。还值得注意的是:当时的数学教学一般是以从“问题”中归纳出“算法”的形式进行的,不大讲基本原理,这个教学现象与今天提倡的“解决问题”式的数学教学有雷同之处。

20世纪初,中国向英美等西方国家学习现代技术或科学的重点移向了日本,这体现在仿日本学制制定的“癸卯学制”上。1900年,上海出版了日本文部省国定的算术课本,“教科书”这个日文名词被中国正式使用。算术教学目的也不仅是“谋生计之必需知识”,还有“兼使精细其心思”的思维训练的要求,这是中国数学教育思想的划时代的进步。

三、“应用题”这个词出现了

1908年,清政府学部编译局出版《高等小学算术教科书》共八册,“应用题”这个词出现在官方出版物中,还真有可能像“教科书”这个词一样,也是从日本舶来的。这部教科书中的应用题是用文言文写的,没有标点符号,其目的、内容、取材、叙述方式与中国传统的应用题不同,算是新应用题吧。例如有题:“济南府距北京九百六十里。甲由北京赴济南。已行二百二十里。乙由济南赴北京。已行二百二十里。问此时甲乙二人相距若干里。”显然,此应用题的编拟是为了训练加减运算能力、渗透整体与部分之间关系的思想而设计的。

“应用题”这个词好啊!可以顾名思义,做到了概念、用语的高度统一。此词的确切出处和时间,对笔者还是个谜,希望得到明示。

1923年,当时的政府颁布的小学数学纲要规定了一至六年级的数学学习内容,其中并未出现“应用题”这个词。有个重要的史实值得书写:1924年,中国教育家俞子夷针对当时“珠算口诀教学”的废留争议,提出了一定要用科学的方法进行试验研究。俞先生亲自设计试验方案,实施试验,得出了科学的结论,采用了经过科学试验验证的教学方案。限于篇幅,这里不予详述。这种用科学的方法来研究数学教学问题的思想和实践,在中国具有里程碑般的意义,这个科学思想,直到今天,许多占着“得天独厚位置”的“数学教育专家”还不懂得。

1929年,当时的政府颁布了《小学算术课程暂行标准》。这个标准规定的很细,包含了许多知识应用的要求,六年级作业中甚至有“中外度量衡的比较”、“关于度量衡公制的研究和应用”等作业要求(这颇似现在倡导的研究性学习。显然,贴着“研究性”标签的数学学习也不是什么新事物)。在这份官方教学文件中仍无“应用题”这个词,只是具体到教科书、课本,如复兴初小算术教材,则从三年级开始,册册都有“应用题”。有意思的是:今天的课程改革将所谓的主题图安排在数学教科书各章的章头,鼓吹说这是数学课程改革的新事物,一些专家还就此有些“创新”谁当先的争夺,现请看七十多年前的小学数学教材,可明证数学教材中安排“主题图”这类事在中国是旧事物,不算是新事物。算术第二册(1932年编写)第十八课“铜币和铜元的认识”设主题图如下: 

教学时,先要求小学生看图,教师问小学生是否拿铜元去买过东西?买的是什么东西?这些东西大约几个铜元?然后再做买卖的游戏。在这套教材中,低年级常利用主题图讲数学知识,中高年级则常用应用题讲数学知识。例如高小第三册(231页)(相当于六年级上学期)有例题:

郑楠代客出卖货物,共价6000元,当时说明佣钱是货价的5%,那么郑楠可得佣钱几元?

当时的小学生也很怕“应用题”,所以,时任低年级的教师经常致力于将“应用题”故事化,到中高年级再减少故事化的程度。

国外有科学研究结论曰:一幅图最多可替代2千字的表达,国内似乎无人就此下功夫研究。一幅主题图的效益指标究竟如何,就某个具体的数学知识来说,在给定篇幅下,是文字叙述效益高?还是简意图或情境图效益高,亦或是文字与图相配合效益高?这里可研究的事有很多,只是很少有人认真对待此事。

四、“应用题”曾经占用了大量的数学学习时间

解放后,1950年7月,教育部制订了《小学课程暂行标准(草案)》,其中《小学算术课程暂行标准(草案)》教学纲要列有对“应用题”的编制要求:要具体而有兴趣并能多用事实本位的方法编排。应用题的字句,要力求明白浅显,内容不可曲折太多,以免儿童不易解答。

将应用题明确作为教学和编教材要求的是1952年颁布的《小学算术教学大纲(草案)》,规定从第三学年开始学习典型应用题。该文件还规定应以算术课及其课外作业的全部时间的一半左右来学习应用题。这与以往相比是十分突出的、划时代的变化。自此:分数应用题、整数应用题按复杂程度被分成了简单应用题、复合应用题。应用题自成知识系统,由简单到复杂,由二步到六步,分为归一、行程、和差、倍比、追及等十余类,在小学数学教科书中再没断过档。求和、求剩余、比多、比少、相差、等分除、包含除、求一数是另一数的几倍等数学知识或技能与应用题密合成体,或增、或减、或难、或易、几经改革再未离开过“数学教学大纲”或“义务教育数学教学大纲”及相应编写的数学教材。“应用题”本应是数学知识学习的载体、手段、方法,不知为何被强化成了数学的主体知识,甚至需用一半的数学学习时间来学习。由此造成的后果需要进行科学而又认真的评估或评价。因为,数学知识的学习是一个复杂的过程,涉及的思想或方法并不单纯。

五、“数学课程标准(实验稿)”中没了“应用题”这个词

“应用题”被规定为一题独大显然是一种片面性的教学要求,这有可能使学生产生对数学的误解。但无论如何,这都属于总结、研究、改进层面上的事,不宜用全面否定、全面替代的方式来取消他。这就是到了现在,在2001年颁布的“数学课程标准(实验稿)”中,“应用题”一词再无踪影,取而代之的是“解决问题”。本次数学课改办了类同“文字狱”的事,象“应用题”、“几何”一类的词均被列为禁忌。极其荒唐!

“应用题”具有编拟方便、有针对性、有助于理解、方便阅读等特点,故在数学教学中大受欢迎。像“鸡兔同笼”、“韩信点兵”等,都是应用题,是源于现实且高于现实的。对解题者来说,既可建立数学模型或数学关系式来解,也可凑出来、猜出来、磨功夫磨出来。没学过数学的,也有可能找出答案来,群众性、普及性非常强。小学数学课堂(包括小学数学奥林匹克课堂)常见的以“工程、植树、找规律、行程”为主要内容的应用题是人为构造的现实,是人人均可会意的现实,但没有人真把应用题当真。为什么?当真的事儿比这要复杂得多。应用题是简化版的现实、是模型化了的现实,教师可以根据教学需要随时编拟。例如,教师根据“10以内加法”教学的需要随口就能编“小红种了三棵树,小兰种了五棵树,他们一共种了几棵树?”显然,这丰富了“3+5”这个算式的背景,易于学生理解,这就是应用题的优势之一。这个优势不随着“应用题”的作用被人为抬高而火爆,也不随着“应用题”被人为摒弃而消亡。“应用题”的优势具有客观性,不受不同时期、不同国度、不同流行理念的左右。只要教师觉得教学需要,就可以视情况编出来、用下去。

美国人为方便小学生理解“加法交换律”设计了应用题:“我想给我的布娃娃4个苹果和2个桔子,但你的布娃娃更喜欢桔子,所以给了她4个桔子和2个苹果,这两个布娃娃得到的水果个数一样吗?”

英国人为一年级小学生设计了应用题:“珍妮特有5便士,约翰比珍妮特多3便士,问约翰有多少钱”和“珍妮特有5便士,约翰有3便士,问珍妮特比约翰多多少钱?”这两道题都包含了“多”,但第一个问题用加法,第二个问题用减法。显然,语言表达的丰富性对学生理解数学问题是个干扰,应用题有助于识别这种干扰,并使学生准确理解各种复杂的表达。

被观念、认识所左右的是“人”,人若对某个事物的认识是僵化的、有误区的,例如对“应用题”这个事物的认识,那他在教学或运用应用题时,就会是僵化的、模式化的、“拿着鸡毛当令箭”式的,就容易强化“应用题”的非本质方面的、次要的功能,而丢弃应用题的本质的、优势的功能。就如同“买珠还椟”。所以,对“应用题”的错误认识或不恰当的使用,以及形式化的、僵化的教学或教材处理,是“人”的问题,不是“应用题”本身的问题,不能混着谈。

六、“解决问题”是一个“待解决问题”

至于“问题解决”,仅从大量相关文章中看,感觉这是一个被“神话”了的概念、有人赋予其太多的功能,但从字面上却看不出可识别的功能或意义,这究竟是一种题型呢?还是一种观念呢?还是一种教学方式呢?还是一种数学问题的阐述形式呢?不好界定!恐怕对其的任何一种解说都会招惹来对立的其他的说法。太不具有确定性了!同时,这也是一个难以从反面来对比认识的说法。例如:应用题的反义词是非应用题,人们都知道非应用题有式题、选择题、证明题、操作题等等。同时,应用题也有人们熟知的与其等价的一些说法,例如叙事题、情景题、古算题等等。无论是其反义词、还是同义词都是有意义且可理解的。“解决问题”呢?其反义词不会是“应用题”吧?从时下的情况来看,的确有人这样看,否则不会到了你去我离的程度;或许是“非解决问题”?那含义一定比“解决问题”还复杂、还令人搞不懂。同义词是什么?不会是“应用题”吧?从许多迹象来看,也有这样认为的。总之,从反面或相反的意义来理解“解决问题”也是有困难的。原因在哪儿?简单说吧,因为仅就数学中的事来说,什么时候能够离开对数学问题的解决来谈数学,更何况这“解决问题”在今天,在数学教学中已经被“三维目标”极大的“丰富”了,这就更难让人说“不”字了。视力不必太好就能看出“解决问题”这个包袱皮太大,可包容的东西太多,内置空间说不清到底有多大,不好背、难掌握啊!这也可能是“解决问题”这个词的优势,这个优势虽然比不上“哲学”这个词容纳的空间大,但一想到人类面临的问题的复杂性和多样性,这“解决问题”肯定是一个令人肃然起敬且不容被疑的说辞,是足够专家们将其当作永恒主题的。放着简单方便的不用,用复杂的,这就是“数学课标”在“解决问题”和“应用题”上的作为。但是,对于一般的、广大的数学教师来说,与“解决问题”相比,“应用题”应算是比较明确、比较好理解、比较易操作、比较快实现、比较能普及的一个学数学和教数学的方式或题型,他和计算题、选择题、画图题、证明题一样,是可区分、可识别、可被明确应用、可让学生操作的一种例(习)题形式。不像“解决问题”那样,教师抓不住、学生搞不清楚,可以因永远说不清而成为“永恒的论题”。举例说,学生若向家长汇报说自己今天做了“解决问题”,那只会在教师和学生之外,再添上一位“一头雾水”的。因为,除了少数几个热心诠释“解决问题”的专家,能详知“解决问题”的,可能少之又少,包括我在内的绝大多数人属于连“皮毛”水平都不够的。当然,我们还可以为“解决问题”选择一个通俗的解释或理解,即只要是数学习题,都是人构造的问题,解决这些问题都应该属于“解决问题”。这在客观上虽然大大贬低了“解决问题”的创新价值,但这不失为一个可行的方案,尽管这样俗的解说可能不会被容忍。这有可能触及了“解决问题”这座“金矿”的真实性,即这座“金矿”能否产出金子也成了需要解决的问题,可简称“待解决问题”。

七、“应用题”的好处,人所共知

“应用题”在从小学数学及至大学数学中的表达方式有共性,也有个性,用文字加少量的字母、数、式来表达一个问题并求解是共性;用文字叙述的往往是人们熟悉的事务和数量关系,解决问题的线索则隐含其中。高等数学中的“应用题”的情境素材往往与物理、化学、生物、经济学有关,中小学数学的应用题的情境素材多源于生活、生产等社会现实。应用题中的情境元素不复杂、不新潮,都是易理解或人所共知的,无论是遥远偏僻的山区、农村、湖区、牧区还是大城市,很少有谁因为应用题中设置的情境而犯难,这与当前的那些挂着“解决问题”招牌的情境性问题形成鲜明对照。现在的课本中的许多情境题并非所有地区的所有学生都能看懂看明白的。“应用题”涉及的情境因素不多,显得不丰富,但通用性强,适用性强,谁都能用,也方便教师自己编拟,这与数学表达的简单性思想是一致的。大家都知道英文字母有26个,但在中小学数学中被经常用到的除专用名词外,并不多,也就是x、y、z、a、b、c等。“应用题”中经常被使用的情境概念较少,是一个优势,这些情境概念无非是少先队员、大人、小孩、货币、树、沟、路、墙、屋、管、水池、汽车、自行车。但通过少量的文字和简单的情境串起来,就能表达各种数学知识,这是一种科学表达的方式,可称之为通用性或互换性思想,值得提倡。爱因斯坦给人们讲“相对论”,天文学家讲万有引力,物理学家讲力学,设计的情境就那么几个,避免了复杂性,以易学、易懂、易理解为前提,是一种智慧的教学方法。数学中的应用题在知识的教授和传播上应该算是智慧的“先哲”。科学家们在阐述事物原理时喜欢运用譬喻、喜欢用简单表达复杂,这与他们从小受解“应用题”的数学训练的影响有关。“应用题”的问题叙述方式对人有潜移默化的影响,易理解、好懂、不会产生歧义,也就不会对数学理解造成额外干扰。现在的“解决问题”情境可就不同了,排队买电影票的情境可以引申出尊老爱幼、礼让、拥军、守规矩等话题。这些话题虽然跟数学问题不沾边,但也不是谁都敢反对或不赞成的。因为若按“对错”来论,是没有什么不对的。把个数学课、数学教育问题弄得异常复杂,这不利于教育。总之,对“应用题”,广大数学教师都比较了解,只是对其在数学教育中的意义还缺乏科学的提炼。即使是物理、化学、劳技、德育等学科,也经常是采用应用题的叙事方式来阐述问题供学生练习或学习用的。而对“解决问题”,显然还有很多值得界定、值得明确、值得研究、值得商榷的事,研究得还很不够。用研究得还不够的东西去冲击研究得比较透的事物,在闹哄哄的、暴烈的大潮中一般都比较容易成功,就如同将一座现成的建筑物拆掉一样,并不是难事。内蒙古呼和浩特市就曾经发生过这样的事,有关部门为了给一个诱人遐想的有巨大想象空间的大厦腾地,而拆掉了一些正在使用的、有确凿无疑的使用价值的大楼。而那个用概念包装的大厦似乎永远难见天日,原因很简单,一个编造了观念中的大厦的骗子把大家“忽悠”了,这个骗子受到了法律的制裁。这提醒我们,拆掉现成的很容易,但建设新的,是一定要建立在踏实研究且落实的基础上。“事儿”并不是念千万遍“阿弥佗佛”就可以成就的。

八、“应用题”是数学能力形成的“脚手架”

“应用题”是座宝库,是经过历史大浪淘出来的金子。数学教学目标将其作为提高学生数学能力的手段、途径或方法,是正确的。利用应用题究竟能够培养学生什么能力,还不能看简单了。爱因斯坦用以光速相对而行的两列火车和车下的观测者之间的关系来说明“相对论”,这应该也算是一道应用题。只不过对这道题不能简单的用加法,不能用加法来求两列光速火车的速度和。这说明设计好的“应用题”,不仅能培养学生发现、分析、解决问题的能力,还能培养学生表达问题的能力,还能培养学生提炼问题的能力,还能帮助人们理解新知识、新概念。总体上说,好的、适当的应用题可以培养学生抽象的能力、逻辑思考的能力等等。当然,关于应用题的教学哪怕只达到了一个目的:培养了学生解决问题的能力。这已经很了不起了!问题是:是解决具体问题的能力,还是解决一类问题的能力,还是解决一般问题的能力?笼统的说法或评价并不能准确反映“应用题”的功能。“应用题”的功能不是一朝一夕就能显现的,他构成了数学学习的缓坡,每一步都是必要的,纠缠于某一步某一类应用题有什么用,培养了什么能力是没有意义的。通过“应用题”学加减乘除、学面积体积、学有理数和无理数、学初等函数、学微积分非常方便,十分有效。应用题如同数学能力形成的“脚手架”,数学能力形成了,“脚手架”也就没用了,就可以把“应用题”扔到一边,甚至可以成为被挖苦、嘲讽的对象,就象姜昆那样,用相声挖苦老师布置学生做“水管、水池、灌水、放水”这类应用题。这是“脚手架”的命运,但建筑大厦还是离不开“脚手架”的。“应用题”是座宝库,老师们应该进一步发掘他,要灵活运用、按需编拟;不要僵化灌输,只在解题模式上下功夫,将解应用题套路化,使其失去数学思考价值。我们的隔海邻居日本、陆地邻居俄罗斯都非常重视“应用题”,他们命制的应用题很有特点,请老师们注意收集或参考。另外,我国著名的数学命题专家裘宗沪先生,他原创的许多应用题极有特色,喜欢数学的学生都喜欢做他命制的应用题,他编著的《小学数学爱好者专题讲座》堪称经典,值得数学老师们认真研究。

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