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彷徨歧路处 教学相长时──一个纠错案例及其反思  

2011-09-14 13:53:36|  分类: 反思篇 |  标签: |举报 |字号 订阅

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彷徨歧路处 教学相长时

——一个纠错案例及其反思

作者:如皋市东陈小学 史大猛

批改家庭作业时,我发现“怎样简便就怎样算”中的一道题,学生出现了三种解法: 

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我很纳闷,根据这道题的特点,只能按顺序计算,前两种解法适用的运算律显然是不对的,怎么会出现如此离奇的错误呢?我统计了一下,全班40人,运用解法①的5人,占12.5%;运用解法②的14人,占35%;21人运用解法③,其中还有1人计算错误,正确率只有50%。因为错误率较高,所以新授课后,我特意预留了十分钟,在黑板上出示这三种解法,准备组织学生集体讨论纠错,以便加深印象。

师:这是家庭作业中的一道题,同学们出现了三种不同解法,现在请你观察本题的特点,对这些解法做出自己的判断。

生1:这道题不可以进行简算,第③种解法是对的。

生2:除法中没有分配律,第①种解法是错的。

生3:解法②的结果也是20,但计算过程好像有点看不懂。

师:看来大家对解法①和解法③的判断一致,对第②种解法还存在争议。我们将错误的第①种解法擦去,集中精力来研究第②种解法。刚才有同学说解法②的过程有点看不懂,我们还在哪里见过类似的解法呢?

生1:在除法计算中连续除以两个数等于除以这两个数的积,用字母可以表示为a÷b÷c=a÷(b×c)。

生2:可那是连续除,最后求得的是商。但这里最后求的是两个商的和,情况是不一样的,怎么能张冠李戴呢?

生3:那为什么最终结果却是对的呢?

生4:会不会是巧合啊?

师:会不会是巧合暂时还难下定论,但我们完全可以检验一下。

学生举例验证。

我想结果很快就会水落石出的。谁知第一个学生汇报的检验结果就让我芒刺在背── 

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孩子们的眼神一片迷茫:运算律明明用得不对,结果怎么又会一样呢?

我快速地检查了一下算式,计算并没有出错呀!我只好硬着头皮让其他学生继续汇报。

学生分别汇报了4.2÷0.5+4.2÷0.5、4.2÷0.2+4.2÷0.8、4.2÷0.3+4.2÷0.7等算式的检验结果,结果仍然一样!

怎么办?我脑子里一片空白。还是下课的铃声把我从窘境中解放了出来。

下一节仍是我的课,课间的时候,我稍稍梳理了一下思路:难道被除数4.2是个特值?抑或是因为两个除数的和为1的缘故?趁着孩子们休息的当儿,我设一个除数为a,另一个除数为1-a,然后在草稿纸上演算起来: 

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原来秘密在此!这类算式与被除数无关,而只要两个除数的和为1,上面的算法都是成立的。问题找到了,那怎样让学生摆脱认识的误区呢?他们刚学小数的四则运算,对他们讲分数运算显然不合时宜,合适的策略仍然是在举例中发现问题的本质。

师:刚才同学们通过已有的检验,发现解法②颇有道理。但你们注意到没有,算式中的两个除数似乎是有规律的。

生:对。这两个除数相加的和都是1。如果和不是1,恐怕就不能这样算了。

师:你真善于观察,也敢于猜想!大家再举例试一试。

生:老师,我发现反例了。4.2÷3+4.2÷0.7,如果按顺序计算正确结果是7.4,而按照解法②的顺序计算,结果却是2。

……

师:这些反例的发现说明了什么问题?

生1:解法②只适用于两个除数相加的和是1的情况。

生2:运算律要适用于所有情况,解法②显然不具有普遍性,所以应该算是一种巧合。

和孩子们一起研究解法②,我们经历了尝试错误─出乎意料─寻机突破─成功纠错─分享收获的一波三折的过程。与其说我给学生纠错,不如说是学生给我纠错,纠了我自以为是的错。在教学中我们可能会多次面对这样的彷徨,那怎样才能走出歧路呢?认真反思后,笔者认为要做到如下三点:

1、心中有数。

首先,教师对数学知识要有比较清晰且深刻的理解。本题要求“怎样简便就怎样算”,其目的是要求学生能够根据相关算式的特点,依据运算定律或性质,在不改变运算结果的前提下灵活处理运算顺序,使运算过程简便。而题目4.2÷0.3+4.2÷0.7恰好又暗藏了一个局部限制条件下的运算律,学生受解法①的诱导,将除数变更成和为1的特例来探究解法②背后的运算律,把我预想的试误纠错过程引入了进退两难的歧路。通过后来的研究,笔者发现:在b+c=1的前提下(当然b、c≠0),a÷b+a÷c=a÷(b×c)是成立的,而一旦缺少了b+c=1的前提条件,或者像乘法分配律那样拓展至更广阔的a÷b+a÷c+a÷(1-b-c)的情况,该运算方法就不复成立了。笔者因为课前认识的肤浅、准备的不足,致使纠错“搁浅”。孩子们给我上了生动的一课:只有把教学建立在透彻理解数学知识本质、洞悉其内在逻辑联系的基础上,才有可能找到前进的方向,避免歧路时的徬徨。

其次,教师要准确把握学情,明确理解所要达到的目标要求,对教学过程中可能遭遇的情形有基本的预估。在实际教学时,教师要高屋建瓴地把握全局,何时“坚决地退出去”,何处“适时地走进来”,都要心中有数。否则教学像“铜匠的担子──挑到哪响(想)到哪”,是难免要出纰漏的。比如,在学生自己举例检验计算方法是否正确后,教师及时提醒学生举例中的特殊性,通过明确的提示“算式中的两个除数似乎是有规律的”,引导学生探究和揭示“谜底”。否则,纠缠下去势必引起学生认识的混乱,达不到纠错的目标,也浪费了宝贵的教学时间。

2、目中有人。

学生是学习和发展的主体。“目中有人”意味着教师要相信学生,每个学生都是一座宝藏,只要乐于开掘,善于挖掘,一定会得到丰厚的回报;意味着教师要敢于放手让学生自主探究学习,让学生亲身经历学习过程,获得更丰富的体验;意味着教师要着眼“全人”目标,使学习不仅是知识增长的过程,同时也是身心和人格健全与发展的过程,并且让“不同的人在数学上得到不同的发展”;意味着教师要从学生的身上反观自己,勇于“闻过则喜”,乐于“见贤思齐”,善于“刷新自我”。目中有人也即相信学生、服务学生、成就学生、学习学生,因为学生是学习的主人,任何知识或技能的习得最终要通过学生的学习活动才能得以真正内化吸收,才有可能在将来发挥效益,这是别人不能替代,也代替不了的。上述案例中,学生通过自我否定,顺利地跳出认识的误区就是最好的明证。

3、手中有法。

一有点拨法。当学生处于思维混沌、认识模糊时,教师要及时出击,施“四两”之力以“拨千斤”, 帮助学生指点迷津,使学生的思维豁然开朗。如第二次尝试错误时,笔者明确要求学生避开两除数和为1的条件,学生很快寻找到了反例,使纠错教学峰回路转,重现曙光。教师在教学中的点拨需言简意赅,要能牵住牛鼻子,“戳到痛处,挠在痒处”。当然,点拨能力的修炼需要教师具备深厚的知识学养、丰实的教学积淀,要学会把握火候,拿捏分寸,需要进行自觉的、长期的、甚至是伴随职业生涯终身的进修,绝非一日之功。

二有辩证法。作为人类认识和改造世界的思想利器,辩证法是减少偏执盲目、避免片面过激、治疗胜骄败馁的一剂良方。数学内容充满了辩证法,本题的背后潜隐着 “按顺序计算”与“简便运算”相互联系、相互制约、相互依存的对立统一论,矛盾双方在一定条件下此消彼长、相互转化的质量互变论,以及一切事物都在发展变化的否定之否定规律。我们应在一些基本事实之上建立起具有一定逻辑关系的生长点和开放面,适时渗透辩证法,引领学生全面地、发展地看问题,逐步养成困顿处乐观向上、胶着时耐心坚强、突破后奋而思进、成功后理智谨慎的优秀品格,大力促进学生情感、态度和价值观的发展。教师如果坚持用不唯书、不唯上、只唯实的批判精神统驭教学全程,注意尊重已知而不囿于已知,研究学生而不轻慢学生,放手而不放任,希望有所超越而又不奢望毕其功于一役,时时刻刻牢记我们与学生一样都是“在路上”,这样的教学就会驶入良性循环的高速路。学生在习得基础知识、基本技能的同时,才能获得可持续发展的精神力量,这对他们未来的发展是大有裨益的。

这次艰难的纠错打乱了我原先的教学预设,我不得不用双倍的时间来弥补自己的缺失。感谢孩子,他们让我重温了《礼记?学记》中那段话:“学然后知不足,教然后知困。知不足然后能自反也;知困然后能自强也;故曰:教学相长也。”师生互教互学,彼此将形成一个真正的“学习共同体”,共同对整个成长负责。教学是一个受知识、学情、教师自身素质等诸多复杂因素综合影响的动态进程,如果教师能坚持不懈地修炼自己,做到心中有数、目中有人、手中有法,整合并利用来自各方面的教学资源,那么即使面对歧路,也一定能把教学导引到可持续发展的正确方向。

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