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回到思维原点  

2011-09-22 17:32:38|  分类: 教学篇 |  标签: |举报 |字号 订阅

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回到思维原点 - 杨作旺 - 杨作旺的博客

回到思维原点
——《乘法和加、减法两步混合运算》教学新视野
作者:邳州市运河师范附属小学 朱长青

  混合运算的顺序虽然是一种人为的规定,但是这种规定并非依据某个生活情境或同类实际问题数量的多少,而是基于计算的简便。追寻这一思维原点,我们教学“乘法和加、减法两步混合运算”的视野更加开阔,通过教学实践与深度思考,建构了一条有效的教学新路径。

关键词混合运算  顺序  思维原点   

    一、缘起

在我校组织的“同课异构”活动中,笔者和另一位年轻教师同时执教四年级(上册)《乘法和加、减法的两步混合运算》。教材先让学生解决购物情境中的两个实际问题(列式为:3×520502×18),试图结合数量关系的分析体会“乘法和加、减法的两步混合运算”的运算顺序及其合理性,概括出运算顺序:算式中有乘法和加、减法,应先算乘法。在我对教材深钻细研、对教学思路苦苦探寻的过程中,一个深层问题阻断了我的思绪──究竟为什么“先算乘法”?诚然,学生凭借例题中的实际问题能够达到体会“先算乘法”合理性的目的,但是似乎还不足以回答“为什么”。作为教师,应该而且必须弄清“先算乘法”的真正道理,因为这“道理”将直接左右教学设计的走向,特别是教学的深度和效度。

二、探究

围绕“为什么先算乘法”,笔者请教了同事、教研员和师范学校的老师,查阅了身边的相关资料,甚至在百度中搜索。概括起来,主要有以下五种观点:

1)这就是一种规定,纯粹的人为规定,无需证明。

2)乘除法是第二级运算,按规定计算时要先算第二级运算。

3)为了避免混乱,保证运算结果的唯一性。

4)生活实际的需要。因为人们在实际生活中遇到需要先乘除后加减的问题,大大多于需要先加减后乘除的问题。这样规定,方便解决多数问题。

5)为了简化计算,提高计算效率。

把运算顺序看成数学上的一种“规定”,这是不争的事实,是一种共识。不过,为什么要这样规定?第一种观点只强调“先算乘法”是一种纯粹的人为规定,没能给出规定的理由第二种观点试图用一个新的规定(先算第二级运算)来解读原来的规定(先算乘除),其实已经走入“循环规定”的误区。第三种观点则有很大的随意性,更不具说服力。因为“为了避免混乱,保证运算结果的唯一性”,我们同样可以规定“先加减,后乘除”。第四种观点好像有点道理,比较符合生活中“少数服从多数”的原则。但是,是否有人已经统计出需要“先算乘除”的问题比需要“先算加减”的问题更多?即便确实如此,对于生活中的这两种实际问题采取两种不同的“规定”(一会规定“先算乘除”,一会规定“先算加减”),就像分类时采取不统一的标准一样,在逻辑上也是行不通的。可见,运算顺序的产生并非来自于哪种实际问题数量的多与少。

与前面四种观点相对照,笔者对第五种观点则持基本赞同的态度。

首先,可以从一个假设的教学情境中感悟。

当学生列出综合算式“203×5”之后,教师组织学生反思体会运算顺序。

师:这道算式,应先算什么?

生:先算35

师:为什么先算35

生:因为要求“一共用去多少钱”,必须先算出“3本笔记本多少钱”,所以先算“3×5”。

至此,学生已经体验到“先算乘法”的合理性,教学也相应随之结束。然而,如果我们“钻一钻牛角尖”,将思维再向前推进一步,或许就有新的发现。

师:同学们,解决这个问题时必须先算3本笔记本的价钱吗?如果我们用一个书包的钱20元先加一本笔记本的钱5元,再加第二本笔记本的钱5元,最后加第三本笔记本的钱5元(即:20555),可以吗?

生:可以!

师:既然这样算也可以,那么大家为什么不选择它,而都选择这种(指203×5)方法呢?

生:因为这样连加太麻烦,而先算“3×5”要简便得多!

是啊!先算乘法3×5,再算加法2015,比起连加20555要简便,特别是当相同加数更多的时候,先算乘法就越显简便了。虽然这是一个假设的教学情境,但是它却把我们的思维从“中途”推到了“原点”,让我们对“为什么先算乘法”的思考透过表层而进入了深层。

其次,可以从“先算乘法”的“对面”(先算加减法)作进一步思辨。

实际生活中,我们会经常遇到这样(或类似)的问题:一种降价的棉袜每双4元,妈妈上午买了5双,下午又买了8双。妈妈买棉袜一共花了多少钱?

解决这个问题时,既可以用“4×54×8”(先算乘法)来解答,又可以用“(58)×4”(先算加法)来解答。虽然后者可能存在加大计算难度的风险,但是它仍然得到更多学生的青睐。究其原因,主要是后者“少一步”计算更“简便”。也就是说,人们之所以青睐“先算加法”解决这类问题,还是基于“简便”的考虑。这也恰恰与例题中“先算乘法”的出发点是一致的。

事实上,我们还可以从数学发展的角度去考察“为什么先算乘法”。我们知道,加法是数量变化的低级形式,是四则运算中最基本的算法,减法是加法的逆运算。后来人们在实践中摸索到更为高级的运算──乘法,用乘法计算相同加数的和可以大大提高计算效率,使计算简便。因此,遇到形如“xaa+…+aba)”的计算,自然就想到先用乘法算ba的和(b×a),然后再加x。由此我认为,人们之所以规定“先算乘法”,归根结底是缘于计算的简便。

综上所述,混合运算的运算顺序是一种人为的规定,但是这种规定并非依据某个生活情境或同类实际问题数量的多少,而是根据数学运算的特点而确定的,它产生于人们解决问题时的一种“求简”本能。也就说,基于计算的简便,人们才规定“算式中有乘法和加、减法,应先算乘法”。

三、实践

基于以上思考,笔者做出相应的教学预设,并进行了实践。下面摘录“运算顺序”教学的核心部分,与大家分享。

课始,学生依次口算:83102×6÷422÷2×316205283×2,并由最后一题所产生的异议引入新课。

1、初步体验。

师:请同学们看屏幕,我们继续口算。(出示1368,学生集体口答。)

师:你是怎样算的?

生:先算136等于19,再算198等于27

(将上式直接改为:1366,集体口答。)

师:怎样算的?

1:先用136等于1919再加6等于25

2:这里有2626等于1213再加12等于25

师:也就是先算26,再与13相加。

(将上式再改为:1366666。此时,学生不约而同地发出惊讶声,并先算五六三十,得出结果43。)

师:怎么算得这么快!你们是怎样算的?

生:因为这道算式里有56,所以可以先算五六三十,然后再用3013等于43。(教师板书:5×6=303013=43

师:和她想法一样的同学举手!(学生都兴奋地举起手)你们计算这道题时,为什么都不用从左往右连加的方法呢?

生:太麻烦了。

师:真的麻烦?我们一起加加看。(师生一起连加)感觉怎样?

生:(沮丧地)麻烦!  

师:看来,我们刚才想的方法(指黑板上的分步算式)的确非常简便!其实,在用这种简便方法计算时,我们还可以把这两道算式合成一道算式。你知道这一道算式是怎样列的吗?

15×613

2135×6

师:(指两道综合算式)这两道算式都是由原来两道一步算式合在一起列成的,像这样的算式就是综合算式。(板书:综合算式)请同学们仔细观察这两道综合算式,它们有什么相同的地方?

1:得数都一样。

2:都是先算乘,再算加。

(教师用红线分别画出先算的部分)

2、深入体验。

师:同学们!像上面的连加算式,我们可以用这样的算式计算方便。下面,如果我们再遇到类似的连加算式,你能说出相应的简便算式吗?

生:能!

师:20444

生:203×4

师:你是怎样想的?

生:因为这道算式的后面有3434可以用乘法“3×4”来算,然后再与前面的20相加就是“203×4”。

师:因此,在这道算式中应该先算──34

(依次出示:7777731515156,让学生直接说出对应的算式和先算的部分。最后出示:508888。)

生:504×8

师:你是怎样想的?

1:因为它有48,就是48等于32,再用5032等于18

2:因为它是减去48,可以先算48的和一块减,就是“504×8”。

师:“一块减”这个词用得好。“一块减”是什么意思?

2:“一块减”也就是一起减。

3:也就是把这48一次减完。

师:你们真爱动脑筋!算式中原来是连续减去48,现在我们可以先把这48合起来一次减掉(指算式:504×8),这样算简便得多。因此,这道题应该先算──48

师:现在,我们再回头看一看开始时这道有争议的算式 “283×2”,该怎样计算呢?为什么?

1:先算乘法,因为这样算方便。

2:因为先算32的和,更容易算出结果。

师:我们可以联系刚才的算式想象一下,这道算式原来可能是28连续减去──32。(板书:28222)很显然,先算32的和(在“3×2”下面画横线)简便。

3、提炼规则。

师:刚才,我们研究了很多算式(指屏幕和黑板上的7道综合算式),像这样的算式在我们的生活和数学学习中还会遇到很多。请大家仔细观察、比较一下这些算式,你们有什么发现?

(学生先独立思考、小组交流,再集体交流。)

1:这些算式都是先算乘法,再算加减法。

2:这些算式都是混合运算。

师:这些算式中是哪几种运算混合在一起的?

2:有的是乘法和加法,有的是乘法和减法。

师:也就是说,在什么情况下,先算乘法?

3:算式中有乘法和加法或者是乘法和减法的情况下,需要先算乘法。

师:也可以这样说,算式中有乘法和加、减法,应先算乘法。这就是今天学习的混合运算的运算顺序。

四、思考

“混合运算”属于数学规则教学的范畴。教学数学规则离不开若干个隐含规则的例证(特别是正例)的支持,本课时混合运算顺序的教学,则需要合理呈现确认运算顺序的形如“a×b±c”和“a±b×c”的四种正例。不难想象,倘若直接呈现几道相应的混合运算式题作为正例,那么它们的运算顺序将会因缺失“算理”的支撑而无法确认(事实上,这在引入时已经得到了印证),其结果必然导致教学走向低效,甚至无效。因此,有效正例的呈现必须以学生理解“算理”为前提。也就是说,只有让学生充分体验“为什么先算乘法”,才能生成有效的正例,进而便于运算顺序的概括。

1、变化情境中催生体验。

案例中,教师通过精心创设的情境,突出学生的亲身体验,为正例的有效生成打开了一个别致的通道。教学从口算“1368”开始,先把“8”变为“6”,得到“1366”;再在此算式的后面加上36,得到“1366666”。连续两次动态呈现,将三道相关的算式构筑成一个鲜活的问题情境。随着学生口算时简便诱因的不断增强,其口算方法也逐步由“从左往右”转向“先用乘法算相同加数的和”。此时,教师并未满足于学生共识的结果,而是更加关注他们选择的缘由。通过及时反思和实地“连加”,用放大前者的麻烦来反衬后者的简便。计算效率的极大反差所带来的强烈冲击力进一步浓缩为学生的体验,他们在两种算法的直接对比中真切体验到后者的便捷与合理。

在此基础上,引导学生合成与比较综合算式,既生成了“确认”后的正例,又使得学生获得更为深刻的体验:无论“5×6”在“前”还是在“后”,都应先算“5×6”。众所周知,将学生头脑中的运算顺序由原来的“从左往右”扭转成现在的“先算乘法”,是教学上的一个难点。显然,这个难点的轻松突破直接得益于第二个正例“135×6”的自然生成。这事实上也就从另一个侧面说明“回到思维原点”的价值。

2、扩展活动中丰富体验。

数学规则的发现需要充分的正例。正例太少,学生缺乏充足的依据,就难以归纳出其中的规则。因此,在已经呈现个别正例的基础上,应进行适当的正例扩展。案例中主要分两个层次:一是改写,将连续呈现的四个“麻烦算式”直接改写成“简便算式”。改写中,遵循由易到难的顺序,先“加”后“减”,以便学生迁移刚刚获得的体验,进而确认每一个新正例的运算顺序。同时,对诸多不同类型正例运算顺序的确认反过来也加深了学生对“为什么先算乘法”的体验。二是释疑,依据前面获得的经验和体验,解读课始的争议──“283×2”的运算顺序。这一活动既是对课始争议的回应,又是针对体验难点——“先减后乘”的一次突破。通过迁移、强化刚刚获得的对“504×8”的体验,切实理清在先减后乘的算式里“先算乘法”的道理。如果说“改写”是顺向思维的话,那么“释疑”则是逆向思维。学生在这“一来一回”的确认过程中,他们对“先算乘法”及“为什么先算乘法”获得了极为丰富的体验,从而对“四种类型”的规则表象也逐步清晰起来。由于学生的感知丰实而深刻,再引领他们概括运算顺序,实现由例证向数学规则的跨越,显得水到渠成。

从数学知识的内在联系入手,从学生思维原点出发的教学,使学生看到了数学知识整体的风貌,也便于学生形成对数学知识更为丰富的体验。当然,强调“回到思维原点”并非否定从生活情境出发的教学思路,而只是对“为什么先算乘法”这一问题探索的自然结果。考虑到学生认知水平的差异性,虽然可以联系生活中典型的实际问题让学生直观地、朴素地体会运算顺序规定的合理性,不一定让他们明确背后的“为什么”,但是教学时我们应该注意两点:一是教师自身应该明确“为什么这样规定”;二是在学生联系生活实际体会并概括运算顺序之后,教师必须站在更高的层面上及时强调:“你们的认识与数学上的规定是完全一致的,以后遇到两步混合运算式题时,都要按照这个规定来运算”(周玉仁语),以防止学生因联系生活实际而形成“规定”来源于具体实际问题的错误认识。这事实上也就从逻辑的角度给学生深入思维留下了应有的空间。

参考文献

1、许怀诚,谢士锦小学数学教学咨询与设计[M]。香港:金陵书社出版公司,1992。

2、周玉仁“解决问题”纵横谈[J]。小学数学教育,20093):2—5。

3、曹培英数学还是那个数学──让数学教学回归数学[J]。小学数学教育,200512):23。

4、沈重予苏教版义务教育课程标准实验教科书 数学四年级(上册)教材分析[J]。小学数学教学(增刊),20064 

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