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从意义建模到能力生成  

2011-09-06 00:47:03|  分类: 教学篇 |  标签: |举报 |字号 订阅

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从意义建模到能力生成 - 杨作旺 - 杨作旺的博客

 从意义建模到能力生成
——以“平均数”教学为例
作者:金坛市华城实验小学 于荣华

【一个典型例子:“哥尼斯堡七桥问题”出给学生“再创造”:

18世纪,东普鲁士的哥尼斯堡是一座美丽的城市。在这个城市中有一条布勒格尔河穿过城区,城中有一座公园,公园中有七座桥把河流两岸同公园连接起来。夏季的夜晚,人们正在乘凉、聊天时,一位居民突然想到:“能不能一次走遍七座桥,而每座桥只许走一次,最后又回到原出发点?”学生跃跃欲试。结果反复探试,均未成功。

最后在老师的带领下,撇开陆地的大小、岛的大小和桥的宽窄等一系列无关紧要的因素,用点和线来代表陆地、岛和桥,采取抽象分析的办法,构建了“一笔画”的数学模型。】

数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。引导学生建构数学模型的过程,就是数学化的过程,也是思维训练的过程,这将有助于提高他们发现数学、“创造”数学、运用数学的能力和数学素养。作为小学来讲,数学建模是遥不可及,还是揠苗助长;是无意插花,还是有意栽树;我们需要从数学学科的价值和本质入手,进行深度的思考和剖析。

一、吁求,建构是数学建模能力的通道

我们尝试在数学教学中让建模成为构通数学与生活应用之间的桥梁。学生通过熟悉的现实生活,自己逐步抽象出数学模型,从中学生能体会到从实际情景中发展数学是获得再创造数学的绝好机会,在建立模型形成新的数学知识的过程中,学生能更好体会到数学与大自然和社会的天然联系。只有这样,数学教学中的“建模”才有了相应的环境与氛围。

下面我们以《平均数》为例进行建模教学的实践:

1、原型唤醒,提供贴近生活的背景。

要建模首先必须对实际原形有充分的了解,明确原型的特征,只有做到这一点,才能使建模者对实际问题进行简化。由于小学生的生活经历有限,对一些实际问题的了解比较含糊,这不利于学生对实际问题的简化和抽象,所以条件许可的话可以组织学生参与一些相关的社会调查和实践活动,让学生亲身体验生活,亲自经历事情的发生和发展过程,让学生主动获取相关的信息和数学材料,从而培养学生对事物的观察和分辨能力,增强学生的数学意识。为此,我们认为教师在提供问题的背景时,首先必须考虑这些背景材料学生是否熟悉,学生是否对这些背景材料感兴趣。我们可以创造性地使用教材,根据目前教材所提供的教学内容,结合学生的生活实际,把学生所熟悉的或了解的一些生活实例作为应用题教学的问题背景,这样可以克服教材的不足,使学生对问题背景有一个详实的了解,这不但有利于学生对实际问题的简化,而且能提高学生的数学应用意识。

案例1:《平均数》

金坛市实验小学建造新校园,甲乙两个学生小队参加义务劳动,并进行1分钟搬砖比赛:

1、看到这些数据,你获得了哪些信息?

2、哪队搬砖快?你评判的标准是什么?(甲队一共15块,乙队一共12块,甲队搬砖的总数多,就说明甲队胜利,我们对甲队表示祝贺。)

3、这时小风加入乙队,1分钟搬砖4块,现在乙队一共搬砖16块,裁判判定乙队为获胜队,并向乙队表示祝贺。

4、(有些学生举手表示反对)你们有什么想法?假如你是甲队的队员,你有意见吗?为什么?

5、“哎呀,看来人数不相等,用比总数的办法决定胜负不公平。”

6、在人数不相等的情况下,难道就没有更好的办法来比较搬砖的快慢?

7、用平均数能比较出。什么是平均数呢?(生结合自己的知识经验和生活经验说理解。)

8、你认为这两种评判标准在适用范围上有什么不同?

【解读】本课所设计的“问题情景”是生活中比赛场景和平均数意义的自然融合,这个比赛场景隐含着平均数意义的本质,具备情景的开放性和模糊性两个特点,学生在自由地解读中整理两组数据,而情景的呈现和解读并不是一步到位的,情景分两次呈现,从而激起学生思维冲突,思考更好的评判标准,从而有序地推进数学问题的深入。这样,从一个生活比赛场景中抽取出平均数意义的过程,反映出从一个生活问题(哪队搬得快)到数学问题(什么是平均数)的抽取过程,是学生一次建模的过程,也是学生对平均数意义初步感知的过程。

2、意义赋予,实现问题简化的过程。

儿童有无限的创造力,虽然他们所掌握的数学知识是有限的,但他们的想象力是无限的,他们敢想敢做善于异想天开,这对简化实际问题,构建数学模型是十分有利的。因此,在数学建模过程中教师要善于调动学生主动建模的积极性,千万不能对学生的不合理的归纳或不恰当的抽象,以及不合常情的假设加以批评和指责,恰恰相反要抓住他们闪光的地方加以表扬、鼓励,并通过适度的引导和点拨使学生对实际问题的简化更加恰当。这需要教师进行有机地进行引导,没有相应地进行指导与引导,那么情境活动则会变为支离破碎的学生经验,反而在学生的学习中起到消极的作用。因为并非学生所有的经验都有同等的教育价值,有些经验不在弄清它们之间相互联系的基础上组织起来,它们在教学方面就要起消极作用。

2:《平均数》

1、怎么求出两队的平均数?四人小组讨论,推选一位介绍学习成果。

2、反馈:哪个小组来汇报一下?

①估算:我们组估计一下,如果要使他们同样多,甲队大概在5块左右,乙队大概在4块左右……

平均数的范围:最小数<平均数<最大数

②移多补少方法:对估算方法的验证延伸出来。电脑呈现:我们一起来估算一下,(把一根水平线移到7的位置),平均数会是7吗?为什么?……

③计算。甲队:(7+6+5)÷3=5(块)

乙队(2+7+3+4)÷4=4(块)

1)你是怎么想的?5代表什么?4代表什么?

2)和小李的5一样吗?和小风的4块一样吗?(这种数字相同纯属巧合)

3)平均数跟以前学过的每份数一样吗?(实质不同:呈现每份数的条形图和平均数的条形作对比。)

4)总数量÷总份数=平均数

【解读】平均数的意义是代表一组数据整体的一般情况,它并不代表具体的数。这种意义只能是让学生在协作探索中意会而不能言传,通过协作学习和教师有力度问题的追问,有机地呈现出估算、移多补少、计算等三种相互联系的方法,在对比中达到清晰概念、深刻理解概念的目的,也为学生合理建模奠定坚实的基础。

3、经历创造,构建合理的数学模型。

学生掌握了某项数学知识后,可以有意识地创设一些把所学知识运用到生活实际的环境,来帮助学生把数学模型建立地更好、更深。通过这些把数学知识与生活实际相联系的活动,即能有效的巩固所学知识,又培养了学生的思维能力和实践能力,让数学回到了现实生活中,同时,学生建立的这些数学模型更加深入、明确。

案例3:《平均数》

1、小结:当人数不相等时,比总数不公平,是谁出现在我们的课堂里?此时此刻,你不想对平均数发自内心的说两句吗?

2、沟通平均数与生活的联系:你在生活中见过哪些平均数?

出示:实验小学老校区人均占地面积是4平方米,新校区人均占地面积是15平方米。

【解读】将平均数概念和学生身边符与具体含义的平均数相链接,学生试图用平构数概念去解释其具体的含义时,这就是数学概念与生活表征两者在学生心中融合的过程,是学生深刻地理解过程,是物理模型到化学模型的转变过程。

4、协作会话,评价应用数学模型

数学模型来自生活实际,数学建模的目的是解决实际问题。因此,每个数学模型都应有其本身的应用价值,如果一个数学模型只能解决当前的一个实际问题,那么这样的数学模型就失去了应用价值,同时也就失了去数学建模的意义。当学生数学建模完成后,要让学生展示自己的建模思维过程,充分暴露学生的思维过程。同时也要鼓励学生对别人的数学模型进行评价,在展示、评价中比较每个数学模型的优点和缺点。

案例4:《平均数》

小王前去应聘,1个月后却只得到500元……小王和老板打官司,谁会赢?

【解读】数模在生活中能得到灵活的应用,才是达到深刻理解和把握数学模型的目的,而此题招工广告是为培养学生灵活应用数模、解决实际问题的一个好素材。

通过以上平均数的教学例子我们可以发现,通过数学建模能使学生真正体会到数学的应用价值,培养学生的数学应用意识,增强数学的学习兴趣,使学生真正了解数学知识的发生过程,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创造能力。

二、返魅,策略是数学建模价值的实现。

从整体上看,建模的过程就是数学化的过程,它把生活情境抽象为数学问题,在这个过程中,培养学生解读、分析、综合、抽象、简化信息等能力。这就要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息,从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型,进而达到用数学模型来解决实际问题的目的,使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。在培养学生数学建模能力的过程中要注意哪些策略呢?

1、学程导航,站在“最近发展区”

学生的学习动机和态度对于学习效果有显著的影响。动机是影响学习策略的重要因素,学习策略的选择又直接影响到学习效果。依据“学生的发展存在着两个不同的区域——现有发展区和最近发展区,在最近发展区内的教学是促进学生发展的最佳教学”的理论设计的。

在数学教学活动中,教师若能挖掘出具有典型意义且能激发学生兴趣和好奇心的问题,并通过创设问题情景充分展现数学的应用价值,就能激发学生的求知欲。帮助学生正确认识数学建模活动的成败,使之建立起积极的期望和自信心,也可以端正学生的学习动机和态度。数学建模不像解常规的数学题,它是开放性的,具有一定的难度。如果学生一遇到困难就放弃,不敢挑战,没有克服困难的自信心和毅力,就很难提高数学建模能力。经过多轮的实验探究,进行了“学程导航式”的数学建模研究。它是以解决问题为中心,以学情为前提,紧紧围绕学生的问题,经过教师对新旧知识的联系、异同之处的点拨,以及学生解决问题等系列过程,使学生的思维处于激烈、活跃、多方面探索、多渠道想像、多种方法论证等一系列复杂的思维活动之中,从而提高课堂教学效率。

2、小课题研究,创生“建模历程”

解决任何问题都需要具备相应领域的知识,数学基础知识对于数学建模来说是必不可少的。数学建模需要综合性的、跨学科的知识。要使学生能有效地利用已获得的知识来进行数学建模,教师一定要引导学生学习,创设民主和谐的氛围,鼓励学生大胆地提出问题,敢于质疑、猜想、发表自己的独立见解;帮助学生理清、掌握知识以及知识间的纵横联系、层次结构,让学生学会概括和组织知识,使新旧知识实现结构化、系统化;关注具体实际问题与抽象模式之间的灵活转换,学会数学建模的有效思维策略,形成一种在复杂的联系中思考问题的良好习惯。

数学建模的过程是一个综合运用知识的过程,它不是简单的外部知识与内部知识的叠加过程,而是一个通过反复交流、相互作用而使知识重新组合的过程。数学建模的过程同时也是一个互动合作的过程,它真正体现了“做中学”。在这样的活动中,学生不再是被动接受知识的载体,而是整个活动的主要参与者、活动的主体。数学建模的问题是没有现成答案、没有固定求解模式的实际问题,它给学生提供了充分发挥自己创造力的空间,使学生在对问题进行抽象建模、求解验证的过程中体验到数学发现的全过程,进而发展数学思维、扩大知识面。

3、课程衍生,形成“建模模式”

【为了追寻一条适合快乐孩子成长的数学教育通道,在基于建模思想的数学三材开发中,我们从不同的学段,开设了“数学与历史、数学与社会、数学与未来、数学与科技、数学与文化、数学与思维、数学与成就、数学与自然”九大系列的百家讲坛。数学讲坛的开设,我们依照数学教材的知识单元(适当调整或拓宽),配以相关素材设计,激发学生的学习兴趣,体现认识规律;展示探究过程;实施活动方法;内化教学功能。】

我们既要把数学思想、数学方法理解为数学学习中深层次的基础知识,又要理解为数学建模的思维策略。在数学建模的过程中,策略性知识与事实性知识结合得非常紧密,相互渗透、相互融合,数学化能力要在高层次的策略性知识与低层次的描述性知识以及程序性知识之间不断地进行转换。数学建模教学的载体是数学知识,但数学建模的教学更应该注重学生对数学思想和数学方法的应用以及策略性知识的学习。学生在将实际问题数学化时,需要从多角度思考问题,需要具有开阔的视野和灵活的思维,这就涉及到策略性知识。专家与新手在策略性知识的选用上有着明显的差别。训练学生策略性知识是提高学生数学建模能力的基础。

数学建模在数学学习和应用中占据着重要的地位,培养学生的建模能力必将有助于提高他们发现数学、“创造”数学、运用数学的能力和数学素养。我们的数学教学有太多的灌输式、太多的理想化、太多的从成人角度理解数学、应用数学。数学建模教学让我们的数学更多的关注学生真实的生活,为学生的个性成长搭建广阔的平台。从意义建模到能力生成,是形成有效数学教学的坚实基础,更为学生的未来插上腾飞的翅膀! 

 

参考文献】

[1] 《数学新课程标准》,中华人民共和国教育部制订,北京师范大学出版社,2001

[2] 王工一,数学建模与现代数学教育理念[J.中学教研(数学),20038

[3] 兰永胜,《数学思想方法与建模技巧》,华东师范大学出版社 1999年版,

[4] 寿纪麟,《数学建模 - 方法与范例》,西安交通大学出版社,199510

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