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拓展习题思维的张力  

2011-10-05 09:01:08|  分类: 设计篇 |  标签: |举报 |字号 订阅

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拓展习题思维的张力 - 杨作旺 - 杨作旺的博客

 拓展习题思维的张力
──以一道几何画图题为例
安徽省黄山市黄山区教育局教研室 齐胜利

习题是数学课最常用的训练方式之一,通过练习即可以了解学生对所学新知识的掌握情况,又可以诊断教学实施状况。如何最大限度地发挥练习题的数学思维价值,有效地促进学生思维发展,下面以一道画图练习题为例具体谈谈。

例      题】:

你能在下图平行线间画出与△ABC面积相等的三角形吗?(人教版五年级上册)

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题意分析】:

在两条平行线间画出与△ABC面积相等的三角形,画法不外两大类,一类是画出的三角形三个顶点都在平行线上,可根据平行线性质与三角形面积公式来画;另一类是三个顶点不一定在平行线上,此时,只能借助三角形面积公式计算的结果推导出相关的三角形数据来画。根据题意可知,后者脱离了平行线这一重要前提,不在本题的训练范围之内,前者才是我们需要练习的方向。

综前所述,要在两条平行线间画出一个与△ABC面积相等的三角形,首先要明确这其中什么可以变,什么不可以变。根据题意得知,这是一组平行线间的三角形,三角形面积公式又告诉我们,当三角形的一组底与高的乘积相等时,相关三角形的面积一定相等。本题的三角形处于两条平行线间,间接告诉我们三角形的一条高是不变的,当一条高不变时,要想画出的三角形面积与△ABC的面积相等,画出的三角形的高对应的底也一定要与△ABC的高对应的底BC相等。

综合以上的分析,要在两条平行线间画出与△ABC面积相等的三角形,画出的三角形底与对应高的长度不能变,只有底与对应高的位置,以及三角形的形状可以变。根据这样的思路,可以找到以下几种具体的画法:

一、画出的三角形与△ABC面积相等,形状不同。

方法1:线段BC不动,滑动A点生成的三角形。

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图2中的画法是我们教学中最常用的一种,它的特点是,底的位置不变,即BC不变,而BC对应的顶点A的位置发生了变化,可以沿着一条平行线左右滑动, BC对应的高的位置跟着发生了变化。由于底的位置不变,虽然高的位置变动了,学生仍能根据平行线间距离相等的性质,直观地推导出自己画出的△A’BC、△A”BC…与△ABC的面积相等。

方法2:A点不动,滑动线段BC生成的三角形;

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图3采用的是经过A点的高的位置不变,而对应的底BC位置发生了变化,可以沿着一条平行线左右平移,这样画出的△AB’C’、△AB”C”与△ABC的面积也相等。由于这种画法中高的位置没有变化,而底的位置向左或向右平移了,容易造成学生视觉上的错觉,认为画出的三角形与原来的三角形面积不相等,因而,这种画法学生理解有一些的难度。

以上两种画法,由于画出的三角形与△ABC形状完全不一样,要理解它们的面积相等,学生必须对平行线性质与三角形的面积公式要有较深刻地理解。

二、画出的三角形与△ABC面积相等,形状相同

方法3:B点不动,绕B点旋转生成的三角形;

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图4中的画法比较特殊,它不是采用常用的方法来解决,而是借助学生已学习过的轴对称与旋转来解决的。以B点所在的高为对称轴,让△ABC围绕着B点所在高逆时针旋转1800,得到△A’B’C’,此时的△A’B’C’与△ABC是以B点所在的高为对称轴的对称图形,即△A’B’C’与△ABC完全重合,既△A’B’C’与△ABC的面积相等。

方法4:C点不动,绕C点旋转生成的三角形;

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图5的画法与图4的方法基本相同,只是图5画的过程中,改成以C点所在的高为对称轴进行的旋转,最终得到的△A’B’C’与△ABC是以C点所在高为对称轴的对称图形,从而得出△A’B’C’与△ABC面积相等。

以上两种画法,不仅能帮助学生理解等底等高的三角形面积相等,还可以引导学生运用学过的轴对称图形与旋转的知识,解决平面图形的画图问题。

方法5:平移△ABC生成的三角形;

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图6的画法是借助前面所学的“平移”来画的,让△ABC沿着BC所在的平行线向左或向右平移若干距离,得到一个新的△A’B’C’,由于得到出的△A’B’C’是由△ABC平移得到,两个三角形完全相同,不仅底相等,高相等,而且位置方向完全一样,从而可以得出△A’B’C’ 与△ABC的面积相等。

图6的画法可以引导学生灵活地运用平移知识解决出现的新问题,帮助学生有意识地打通各知识间的通路。

综合以上五种画法可以看出,在练习的设计过程中,应充分考虑练习的背景与效益,只有深入地挖掘练习中隐含的思维价值,练习的价值才能得到最大化的发挥,学生的思维才能得到全面发展。 

作者简介齐胜利,男,本科学历,中学高级教师,安徽省特级教师,现为安徽省黄山市黄山区教研室小学数学教研员。工作以来,先后获得黄山市“名教师”、黄山市“学科带头人”、黄山市“教学新秀”,连续两届黄山区 “拔尖人才”等称号。

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