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杨作旺的博客

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感受小学数学思想的力量  

2012-05-27 16:25:27|  分类: 理论篇 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2012年05月27日 - 杨作旺 - 杨作旺的博客
 感受小学数学思想的力量 
——写给小学数学教师们
作者:张景中

作者介绍

张景中:中共党员、中国科学院院士、计算机学科和数学学科博士生指导教师、中国科普作家协会理事长。任广州大学计算机教育软件研究所所长,中国科学院成都计算机应用研究所名誉所长,现任华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心学术委员会主任,江西城市学院名誉校长、学术委员会主任。1991年开始享受政府特殊津贴1995年当选为中国科学院院士。曾获“全国优秀教师”等称号及“全国五一劳动奖章”。20063月任江西城市学院名誉校长、学术委员会主任。2009年到电子科技大学工作,任电子科技大学计算机推理与可信计算实验室主任。2011年,被新成立的南方科技大学聘请讲授数学,旨在培养数学人才。

 

小学生学的数学很初等,很简单。尽管简单,里面却蕴含了一些深刻的数学思想。

函数思想最重要

最重要的,首推函数的思想。比如说加法,23加起来等于5,这个答案“5”是唯一确定的,写成数学式子就是2+3=5;如果把左端的3变成4,右端的5就变成6,把左端的2变成7,右端的5就变成10。右端的数被左端的数所唯一确定。在数学里,数量之间的确定性关系叫做函数关系。加法实际上是一个函数,由两个数确定一个数,是个二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了,右端的和就被另一个数确定,就成了一元函数。

在中学里学习函数概念,只讲一元函数,以为多元函数复杂,不肯讲。其实,小学生先熟悉的是多元函数,因为学过的大量的数量关系是多元函数的例子。矩形面积等于长乘宽,是二元函数;梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2,是三元函数。所以多元函数的概念更容易理解。讲函数概念,不妨一开始就讲多元函数;具体研究,再从一元函数开始,这样比只讲一元函数更容易理解。

当然,不用给小学生讲函数概念。但老师有了函数思想,在教学过程中注意渗透变量和函数的思想,潜移默化,对学生数学素质的发展就有好处。

比如学乘法,九九表总是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八,如果背了上句忘了下句,可以想想21+7=28,就想起来了。这样用理解帮助记忆,用加法帮助乘法,实质上包含了变量和函数的思想:3变成4,对应的21就变成了28。这里不是把34看成孤立的两个数,而是看成一个变量先后取到的两个值。想法虽然简单,小学生往往想不到,要靠老师指点。挖掘九九表里的规律,把枯燥的死记硬背变成有趣的思考,不仅是教给学生学习方法,也是在渗透变量和函数的数学思想。

做除法要试商。80除以13,商是多少?试商515,不够;试商62,可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。试商的过程,就是调整函数的自变量,使函数值满足一定条件的过程。

小学数学里有很多应用题,解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下,用一个思想来解各种各样的题目呢?试商的思想,其实有普遍意义,可以用来求解许多不同类型的问题,包括应用问题,只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。

例如,修一条长32千米的公路,已经修了24千米,已修的路程是剩下的几倍?我们用类似试商的办法来试解。如果是1,剩下的是24千米,总长48千米,比题设数据大了;如果是2倍呢,剩下的是12千米,总长36千米,仍比题设数据大;3倍呢,剩下8千米,总长32千米,正好符合要求。

我想很多老师不会这样引导学生思考,认为这是个笨办法。其实,这个办法具有一般性,把试解的倍数看成自变量,把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数,找寻使函数值符合题目要求的自变量,这个思路能解决很多问题,大智若愚

这样思考试算,最终也会发现具体的规律列出通常的算式。找寻使函数值符合一定要求的自变量,也就是解方程。方程本质上是函数的逆运算。加法看成函数,减法是解对应的方程;乘法看成函数,除法就是解对应的方程。函数思想和方程的方法,是一个事物的两面,都是大智慧,贯穿数学的所有领域。

数形结合在小学是可能的

数学要研究的东西,基本上是数量关系和空间形式。当然,发展到今天,还要研究类似于数量关系的关系以及类似于空间形式的形式,甚至于一般关系的形式和一般形式的关系,等等。现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个模块。如何让这几块内容相互渗透、相互联系,是值得研究的问题。

提到数形结合,往往觉得是解析几何的事情。其实,数和形的联系,几乎处处都有。

在数学当中,几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念,最初都是从几何中来的。所以有人说,几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形,而且还需要推理,推理就要使用语言,所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候,往往是学数的时候就讲数,到了学几何的时候就讲几何,缺少把两者联系起来的意识。

例如,有一套教材开始就让学生玩积木,也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活,比数更贴近生活,是更基本的东西,这是教材的优点。但是,如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的,还让他们数一数某块积木有几个尖(顶点)、几个棱、几个面,就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。

在认识数的时候,要举很多的例子,如一个苹果、一只小白兔等。我就想,在举例的时候能不能照顾到几何?比如学生在学习“1”的时候,就要学生用“1”来造句,书上可不可以有一些关于几何的句子?“1个圆有1个圆心“1条线段有1个中点“1个正方形有1个中心等。有的老师会说,这样不行,学生不能理解。我想,可以画图帮助学生理解,学生虽然不知道这些概念准确的含义,但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解,而是通过模仿开始的,如果在学数的时候,能举一些几何上的例子,这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样,在学习“2”的时候,我们可以教学生说:“一条线段有两个端点。不需要让学生知道什么是线段,只要画一条线段,指出两头是端点。到后来学几何知识时,回头一想,他会非常亲切,因为他早已经会说了。在学“3”的时候,可以画一个三角形,让学生说三角形有3条边、3个顶点”;“4”的时候,可以画一个正方形,让学生说正方形有4条边、4个顶点”;“5”的时候,可以画个五角星;认识“10”的时候,除了10个指头,不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段(1); 学到100以内的数,就可以告诉学生正方形的角是90,等等。小孩子记忆力好,早点记一些东西,以后再慢慢理解。

在中国古代的私塾里,学生入学后往往先让他们背几个月,甚至一年,然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式,但是也并非没有可取之处。学生已经会背了,再讲的时候,他印象就非常深刻了。我们讲建构主义,先要有信息进去能建构,一个人闭目塞听,不和外界接触,是很难建构出东西来的。

总之,几何语言的早期渗透可不可能,值得研究。

形与数的结合,还提供了更多的数学之美的欣赏机会。关于数学的美,美国数学教育家克莱因有过这样的描述:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活,但数学却能提供以上一切。怎样才能让学生逐步体会到数学的美呢?在小学阶段,可以先从几何图形上感知数学之美。现代信息技术提供了前所未有的可能。举个例子,这里有一些美丽的图案(2)你能想到,这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?

你能想到,这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?

这条曲线其实很简单,如图3,超级画板” 软件画一个圆,圆上取3ABC,在弦AB上取点G,再在线段CG上取点H,利用软件的轨迹作图功能,作出3ABC在圆周上运动时点H的轨迹,并把3点运动速度的比值分别设置为kmn的整数部分,做出这3个参数的变量尺。只要调整3个参数和点GH的位置,就能创造出成百上千种不同的图案。这样几分钟就能做出来的课件,让孩子们玩上几个星期都不会失去兴趣。在潜移默化之中,数学之美会渗入幼小的心灵。

一位教师让她9岁半的孩子玩这类超级画板课件,孩子很快被超级画板所吸引。玩到第3,就不想上网打游戏了。不到一个星期,就对超级画板上了瘾,很快学会了从屏幕上截取图片,把自己的作品保存起来。图4就是这个三年级学生的作品。他还根据自己的想象力给每个图案起了名字。

 寓理于算的思想容易被忽视

数形结合的思想,不仅是上面这些简单的例子,下面还会谈到。

小学里主要学计算,不讲推理。但是,计算和推理是相通的。

中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法,不像古希腊讲究推理论证。但是,计算要有方法,这方法里就体现了推理,即寓理于算的思想。

数学活动中的画图和推理,归根结底都是计算。推理是抽象的计算,计算是具体的推理,图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子,让学生慢慢体会到所谓推理,本来是计算;到了熟能生巧的程度,计算过程可以省略了,还可以得到同样的结果,就成了推理了。有的人认为几何推理很难,学几何一定要先学实验几何。其实,实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理,后期学会推理时也需要实验。所谓实验,无非是观察和计算。对顶角相等这样简单的几何命题,实际上就是通过一个算式证出来的,这里的推理证明就是计算。

要把计算提升为推理,就要用一般的文字代替特殊的数字,再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到长方形的面积=×的时候,不妨告诉学生,这个公式可以用字母表示成M=C×K。这里用了面积、长、宽的汉语拼音,学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。为什么说这样能把计算提升为推理呢?看一个简单的例子。设一个三角形a边上的高为h,b边上的高为g,根据三角形面积公式,就知道a×h=b×g;如果a=b,h=g。这就推出了一条规律:如果三角形的两条边相等,则此两边上的高也相等。也就是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。

我曾经在一张小学数学试卷上看到这样一道题:“正方形的面积是5平方分米,求这个正方形的内切圆的面积。表面上看,这个问题小学生解决不了,因为要求圆的面积,一般要知道圆的半径,这题中就需要先知道正方形的边长,而正方形的面积是5平方分米,边长就是!5分米,小学生没有学过开方,似乎没有办法进行计算。而实际上,正方形的面积是它边长的平方,圆的面积用到的是半径的平方,并不一定要知道半径,知道半径的平方就行了,而此题中半径的平方是直径平方(即正方形面积)的四分之一,所以是能够解决的。但有很多学生解决不了,而告诉他们答案后,学生往往觉得非常简单。这是为什么呢?这就说明学生不能把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系,从计算发展到推理,是很重要的。这里有很值得研究的问题。

小学生学的是很初等的数学,但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过,“数学的目的,就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”,“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去,就必须不断努力把它们简化和统一”,“过去曾经使成年人困惑的问题,在以后的年代,连孩子们都容易理解。这几句话,我觉得非常亲切,因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点,把难的变成容易的,把高等的变成初等的。我想,高等的与初等的数学之间,没有必然的鸿沟,主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的思想和寓理于算的思想结合起来,往往能够化难为易,化繁为简。

人们以前认为三角函数是非常难学的,是高等数学的内容。它既不是加减乘除,又不是开方,它是超越函数。在数学史上,函数这个词是和三角紧密联系在一起的。一次函数、二次函数都是算术运算的结果,就算没有函数的概念,学生也是比较容易理解的。三角函数则不然,一定要有对应的概念,函数的概念才说得清楚。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974,我在新疆教过中学,那时发现学生学习三角比较困难,就开始研究如何把三角变容易。在我写的一本书里(《平面三角解题新思路》,1997,中国少年儿童出版社)讲了这方面的具体想法。最近发现,三角不但可以变得很初等、很容易,而且可以成为初中数学的一条主线,把几何和代数联系在一起。我把这种思想写成一篇文章(《下放三角全局皆活》,《数学通报》,20071-2)。张奠宙先生说,按我的这种思路,三角里的正弦函数,可以在小学里引进。如何引进呢?他把我提出的正弦函数的新的定义方法,作了生动、通俗而精彩的表述。下面这段文字引自他的文章:

矩形用单位正方形去度量,结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求?自然是用单位菱形,同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积,再乘上单位菱形面积的因子”,原理完全相同。一个明显的事实是:单位正方形压扁了,成为单位菱形,两者的区别在于角AA是直角,面积为1,A不是直角,面积就要打折扣。这个折扣是一个小数,A有关,记作sinA(5)

张奠宙先生还说:“如果能从小学就学sinA,当然是一次解放。

我们看到,数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质,就能把难的变成容易的,把高等的变成初等的。就能把过去曾经使成年人困惑的问题”,变得孩子们都容易理解

不考虑矩形面积公式,不用单位菱形,也能在小学里讲正弦。怎么讲?先问,一个等腰直角三角形,如果腰长为1,面积是多少呢?学生容易回答,0.5。进一步探索,如果这个等腰三角形的顶角不是90,比如是60,它的面积是多少呢?学生从图上会看到,90度变成60,面积会变小,要打个折扣。多大的折扣呢?这可以从纸上测量出来一个近似值。老师进一步告诉大家,这个折扣的更精确的数值,可以在计算器或计算机上查出来,它叫做sin(60?/SPAN>),约等于0.8667,这就引进了正弦函数。知道了正弦函数,就能解决许多实际的几何问题。如果问,这个0.8667怎么得来的,就引出进一步的数学方法。这样不仅教给学生知识,更重要的是教他如何提问题、如何思考、如何获取新的知识。

这里,既有数形结合,又有寓理于算,还贯穿着变量和函数的思想。有些老师不是说缺少好的探索问题吗?这就是非常有意义的探索问题,它给学生留下很大的思考空间,会使学生长远获益。

陈省身先生说过,数学可以分为好的数学与不好的数学。好的数学指的是能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学;不好的数学是一些比较孤立的内容。他举例说,方程就是好的数学。

函数的思想、形数结合的思想、寓理于算的思想,都属于好的数学。这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发,是通过具体问题来体现这些思想。比如引进了sinA,用这个概念解决几个看来很困难的问题(参看前引文章和书),学生会惊奇,为何能如此简捷地解决问题?学下去,过三年五年,他就体会到,是数学思想的力量。

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